Warunki Dirichleta

Warunki Dirichleta – warunki wystarczające aby funkcja okresowa posiadała reprezentację w postaci szeregu Fouriera oraz posiadała transformatę Fouriera. Warunki te były sformułowane przez niemieckiego matematyka Piotra Gustawa Dirichleta.

Twierdzenie

Przypuśćmy, że f:{\mathbb R}\longrightarrow{\mathbb R}jest funkcją okresową o okresie T. Jeśli f spełnia następujące cztery warunki (zwane warunkami Dirichleta):

  1. funkcja f jest bezwzględnie całkowalna, tzn.:

\int\limits^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}} |f (x) |dx < \infty ,

  1. funkcja f w przedziale jednego okresu ma skończoną liczbę maksimów lokalnych i minimów lokalnych,
  2. funkcja f w przedziale jednego okresu posiada skończoną liczbę punktów nieciągłości pierwszego rodzaju,
  3. funkcja f jest ograniczona,

to f ma reprezentację w postaci szeregu Fouriera. Szereg Fouriera jest zbieżny i jego suma jest równa f(x) w punktach ciągłości f(x) i ½ [f(x-0)+f(x+0)] w punktach nieciągłości.

 

Pierwszy rodzaj punktów nieciągłości

Punkt nieciągłości p funkcji f nazywamy punktem nieciągłości pierwszego rodzaju, jeżeli skończone są granice funkcji